domingo, 29 de enero de 2012

Los Problemas Aritméticos Elementales Verbales (PAEV)

Los problemas aritméticos verbales nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en las cuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo de la matemática (adición y sustracción). Asimismo, los PAEV nos presentan diferentes estructuras de formulación del enunciado que les otorga diferente complejidad cuando el resolutor se enfrenta a ellos.
Estos problemas son muy importantes de trabajar con nuestros estudiantes, para que desarrollan los diferentes entendimientos (situaciones) que tiene la adición y la sustracción en su medio.
En este documento, se presentan los PAEV aditivos de una etapa, es decir, los problemas aritméticos que pueden resolverse con una sola operación de adición o de sustracción.
Más allá de la tradicional dificultad de los problemas aritméticos en función de la dimensión de los números involucrados,  o -más precisamente- de la complejidad del procedimiento de cálculo de la(s) operación(es) necesarias (sin llevar/prestar – llevando/prestando, etc.), los PAEV nos presentan diversas estructuras que aportan a la comprensión profunda del significado de las operaciones de adición y sustracción. Por eso se dice que los PAEV responden a una clasificación semántica (en función del significado), es decir en función de las relaciones semánticas entre las cantidades que aparecen en el problema o, lo que es lo mismo, entre los conjuntos que aparecen en el enunciado.
En definitiva, para resolver un problema hay que desencadenar una serie de estrategias que permitan crear una representación del mismo; en este proceso interactúan distintos tipos de conocimientos como lingüísticos, del mundo y matemáticos. En este sentido, una parte importante de las dificultades que presentan los estudiantes en la resolución de problemas pueden deberse precisamente a las dificultades que tienen para comprender los enunciados.
De hecho, algunos autores sugieren que muchos estudiantes no intentan basar la resolución del problema en la comprensión del mismo; simplemente se saltan este paso y se embarcan directamente a realizar cálculos con los números que aparecen en el enunciado, utilizando lo que se denomina estrategias superficiales para resolver problemas.
Posiblemente la estrategia superficial más comúnmente utilizada sea la estrategia de la palabra clave (Hegarty et al., 1995; Nesher y Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte y Pauwels, 1992). En este caso, los estudiantes seleccionan palabras claves aisladas del texto que asocian con una operación determinada sin tener en cuenta una representación global de la situación del problema. Por ejemplo, las palabras “juntos” o “ganar” se asociarían con una suma, mientras que “menos que” o “perder” se asociarían con la operación de restar. Esta estrategia tiene “éxito” cuando los estudiantes se enfrentan a ciertos problemas típicos, pero fracasa con los otros.
Parten de una cantidad a la que se añade o quita algo para dar como resultado una cantidad mayor o menor. Los problemas dentro de cada una de estas categorías reflejan el mismo tipo de acciones o relaciones, pero, dado que los problemas incluyen tres cantidades, una de las cuales es la desconocida, en cada categoría podemos identificar diferentes tipos de problemas dependiendo de la identidad de la cantidad desconocida. Como se tienen dos posibilidades para el cambio: aumentar (crecer) o disminuir (decrecer), entonces se tienen seis tipos de problemas de esta estructura.


Cambio 1
Juan tenía 3 bolitas.
En un juego ha ganado 5 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene Juan ahora?

Cambio 2
Juan tenía 8 bolitas.
En un juego ha perdido 5 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene Juan ahora?

Cambio 3
Juan tenía 3 bolitas.
En un juego ha ganado algunas bolitas.
Ahora Juan tiene 8 bolitas.
¿Cuántas bolitas ha ganado?

Cambio 4
Juan tenía 8 bolitas.
En un juego ha perdido algunas bolitas.
Ahora Juan tiene 3 bolitas.
¿Cuántas bolitas ha perdido?

Cambio 5
Juan tenía algunas bolitas.
En un juego ha ganado 5 bolitas.
Ahora Juan tiene 8 bolitas.
¿Cuántas bolitas tenía?

Cambio 6
Juan tenía algunas bolitas.
En un juego ha perdido 5 bolitas.
Ahora Juan tiene 3 bolitas.
¿Cuántas bolitas tenía?



d = dato   ;   i = incógnita

Inicial
Cambio
Final
Crecer
Decrecer
Cambio 1
  • D

d
i
P

Cambio 2
D
d
i

P
Cambio 3
D
i
d
P

Cambio 4
D
i
d

P
Cambio 5
I
d
d
P

Cambio 6
I
d
d

P

 

COMPARACIÓN

En estos problemas existen tres cantidades: referencia, comparada y diferencia. La cantidad desconocida puede ser el conjunto de referencia, el de comparación o la diferencia, y puesto que el conjunto de referencia puede ser el mayor o el menor, también encontraríamos seis tipos de problemas de comparación.



Comparación 1
Juan tiene 5 bolitas.
Pedro tiene 8 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro más que Juan?



Comparación 2
Juan tiene 8 bolitas.
Pedro tiene 3 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro menos que Juan?


Comparación 3
Juan tiene 3 bolitas.
Pedro tiene 5 bolitas más que Juan.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?
Comparación 4
Juan tiene 8 bolitas.
Pedro tiene 5 bolitas menos que Juan.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?


Comparación 5
Juan tiene 8 bolitas.
Él tiene 5 más que Pedro.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?

Comparación 6
Juan tiene 3 bolitas.
Él tiene 5 menos que Pedro.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?


d = dato   ;   i = incógnita

Referencia
Comparada
Diferencia
más
menos
Comparación 1
d
d
i
P

Comparación 2
d
d
i

P
Comparación 3
d
i
d
P

Comparación 4
d
i
d

P
Comparación 5
i
d
D
P

Comparación 6
i
d
D

P

Algunos autores (Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992) han propuesto una categoría adicional que puede considerarse una “mezcla” de las categorías de cambio y comparación; son los problemas de igualación, en los que la relación comparativa entre dos cantidades no se expresa de forma estática (como en los problemas de comparación) sino dinámicamente.


Igualación 1
Juan tiene 5 bolitas.
Pedro tiene 8 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene que ganar Juan para tener las mismas que Pedro?

Igualación 2
Juan tiene 5 bolitas.
Pedro tiene 8 bolitas.
¿Cuántas bolitas tiene que perder Pedro para tener las mismas que Juan?

Igualación 3
Juan tiene 5 bolitas.
Si tuviera 3 bolitas más tendría las mismas que Pedro.
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?
Igualación 4
Pedro tiene 8 bolitas
Si tuviera 3 bolitas menos tendría las mismas que Juan.
¿Cuántas bolitas tiene Juan?

Igualación 5
Pedro tiene 8 bolitas.
Si Juan tuviera 3 bolitas más tendría las mismas que Pedro.
¿Cuántas bolitas tiene Juan?

Igualación 6
Juan tiene 5 bolitas.
Si Pedro tuviera 3 bolitas menos tendría las mismas que Juan
¿Cuántas bolitas tiene Pedro?


d = dato   ;   i = incógnita

Referencia
Comparada
Diferencia
más
menos
Igualación 1
d
d
i
P

Igualación 2
d
d
i

P
Igualación 3
d
i
d
P



Igualación 4
d
i
d

P
Igualación 5
i
d
d
P

Igualación 6
i
d
d

P


En estos problemas se desconoce una de las parte, la otra parte o el todo; pero en este último caso, dado que no existe ninguna diferencia conceptual entre cada una de las partes, se suelen considerar solamente dos tipos de situaciones de combinación: la que pregunta por el todo o por una de las partes.


Combinación 1
Juan tiene 3 bolitas.
Pedro tiene 5 bolitas.
¿Cuántas bolitas tienen entre los dos?

Combinación 2
Juan y Pedro tienen 8 bolitas entre los dos.
Juan tiene 3 bolitas (o Pedro tiene 5)
¿Cuántas bolitas tiene Pedro (o Juan)?




d = dato   ;   i = incógnita

Parte
Parte
Todo
Combinación 1
d
d
i
Combinación 2
d
d
i
  
Adaptado de: Josetxu Orrantia. Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva evolutiva  http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?pid=S0103-84862006000200010&script=sci_arttext

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