miércoles, 5 de febrero de 2014

La Educación Matemática: Enfoque, escenarios y estrategias

Aquí se tienen algunos links interesantes para revisar la propuesta de matemática:
(en cada caso, hacer click en el link azulito)

Marcos y pruebas de Evaluación PISA 2012

En dónde se encuentra la propuesta de Matemática hecha por el grupo de expertos de PISA. Se identifica como fuentes la matemática Realista de Freundenthal y el  Enfoque Centrado en  la Resolución de Problemas (del NCTM)

Mapas de Progreso del IPEBA en Matemática (estándares por ciclo):


Cambio y Relaciones.pdf                       Video de Cambio y Relaciones (5 min)

Estadistica y Probabilidad.pdf                Video de Estadística y Probabilidad

Geometria.pdf                                       Video Geometría

Numeros y Operaciones.pdf                  Video de Número y Operaciones


Libro interesantísimo para docentes de primaria (por Liping Ma):

Conocimiento y Enseñanza de las Matemáticas Elementales


Comentarios al libro: Principios y Estándares para la Educación Matemática

Publicación del National Council of Teachers of Mathematics (haga click): Vaya al artículo


Esta es la presentación empleada en el taller (día jueves 6 de feb. 2014):

La Educación Matemática: Enfoque, escenarios y estrategias


Dos videos; Alineamiento Constructivo (J. Biggs): subtitulado

Presenta la propuesta de Alineamiento entre lo que se hace en clase y lo que se evalúa, para asegurar el aprendizaje de todos los estudiantes (se basa en el SOLO, del mismo autor):

Video Alineamiento Constructivo - PArte I (9 min)

Video Alineamiento Constructivo - Parte II (10 min)


Quedo presto a cualquier consulta.

Saludos Cordiales!!!

¿Qué es la matemática?


¡Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad!

Albert Einstein


Una cita de un libro:

"La matemática, como una expresión de la mente humana, refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos son: lógica e intuición, análisis y construcción, generalidad y particularidad. Aunque diversas tradiciones han destacado aspectos diferentes, es únicamente el juego de estas fuerzas opuestas y la lucha por su síntesis lo que constituye la vida, la utilidad y el supremo valor de la ciencia matemático".

Richard Courant y Herbert Robbins - ¿Qué es la matemática?

Un artículo:


Estas reflexiones fueron inspiradas en un libro de Keith Devlin (¿Qué es la matemática?). Sugiero que lean con la mayor flexibilidad posible. No es patrimonio mío (ni mucho menos). Es un recorrido por una historia que me parece que uno no debería ignorar y, quizá, cuando termine, haya aprendido algo que no sabía.

Si hoy parara a una persona por la calle y le preguntara "¿qué es la matemática?", probablemente contestaría que es el estudio o la ciencia de los números. Lo cierto es que esta definición tenía vigencia hace unos 2500 años. O sea, que la información que tiene el ciudadano común sobre una de las ciencias básicas es equivalente a la de ¡veinticinco siglos atrás! ¿Hay algún otro ejemplo tan patético en la vida cotidiana?

En ese tiempo, la humanidad ha recorrido un camino tan largo y tan rico que creo que podríamos aspirar a tener una respuesta un poco más actual.

Es probable que la mayoría de la gente esté dispuesta a aceptar que la matemática hace aportes valiosos en los diferentes aspectos de la vida diaria, pero no tiene idea de su esencia ni de la investigación que se hace actualmente en matemática, ni hablar de sus progresos y expansión.

Algunas Definiciones:


Matemática: Del latín mathematĭca, aunque con origen más remoto en un vocablo griego que puede traducirse como “conocimiento”, la matemática es la ciencia  deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.
A partir de axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las matemáticas analizan estructuras, magnitudes y vínculos de los entes abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción.
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Las matemáticas o la matemática1 (del lat. mathematĭca, y este del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es unaciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números, figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter científico. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Losmatemáticos buscan patrones,2 3 formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosasdeducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.4 Algunas definicionesclásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,1 aunque solo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.
Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".5 Por otro lado, Albert Einstein declaró que:" cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".6
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.
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matemática.

(Del lat. mathematĭca, y este del gr. τὰ μαθηματικάder. de μάθημα, conocimiento).

1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing.
http://lema.rae.es/drae/?val=Matem%C3%A1tica

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Y ahora, ¿qué es la Matemática para ti?



sábado, 18 de enero de 2014

Algunos criterios para proponer actividades de aprendizaje en el área de Matemática

George Polya, además de proponer una secuencia de procedimientos para la resolución de problemas, ha propuesto también interesantes sugerencias para los docentes, aquí colocamos algunas[1]:
a)      Interésese en su materia.
b)      Conozca su materia.
c)      Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.
d)      Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.
e)      Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
f)       Permítales aprender a conjeturar.
g)      Permítales aprender a comprobar.
h)      Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros. Trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.
i)        No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes. Déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.
j)        Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.
Las consideraciones que se han planteado hasta aquí ponen de manifiesto la necesidad imperiosa del dominio de la matemática por parte del profesor -entendido este dominio como la capacidad de resolver problemas. Asimismo, se identifica la necesidad de un profundo conocimiento de didáctica de la matemática, para que el docente pueda encontrar el sentido y el aporte de las actividades planteadas en los libros y documentos curriculares. Además es necesario proponer  actividades para el desarrollo del pensamiento matemático de nuestros estudiantes. De ahí la necesidad de convencernos todos de la importancia de los procesos permanentes de actualización docente.



[1] Citado por Ruiz, Alfaro y Gamboa en Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2006, Año 1, Número 1

viernes, 10 de enero de 2014

Papel de la resolución de problemas en el aprendizaje significativo

[1]

Es esencial que la actividad de resolución de problemas esté presente en nuestras clases de matemática si queremos que nuestros estudiantes logren un aprendizaje significativo de la matemática. La actividad de resolución de problemas no debe ser entendida simplemente como un contenido más del currículo de matemática; se trata de uno de los vehículos principales para el desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes. Adicionalmente, es también una fuente de motivación para los alumnos, ya que permite visualizar, de una manera más contextualizada y personal, los aprendizajes matemáticos trabajados. Al resolver un problema, el alumno dota de un más profundo pero esencial significado a las nociones y actividades matemáticas realizadas, ya que identifica su sentido en la realidad y la finalidad de su aprendizaje.

En la clase de Matemática, debemos propiciar el quehacer matemático de nuestros estudiantes; es decir, las actividades que realizan nuestros estudiantes deben ser -en ciertos momentos- comparables a la actividad de los propios matemáticos cuando llevan a cabo sus investigaciones. En ese sentido, se debe propiciar actividades en las que el estudiante:

  •   Investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula conjeturas).
  •   Trata de probar que su solución es correcta.
  •   Construye modelos matemáticos.
  •   Usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías.
  •   Intercambia sus ideas con otros. Es decir, escucha y propone argumentos, razones.
  •   Finalmente, reconoce cuáles de estas ideas son correctas- conformes con la cultura matemática-, y entre todas ellas elige las que le sean útiles.

Por el contrario, el trabajo del profesor al planificar su clase es, en cierta medida, inverso al trabajo de un matemático. Veamos por qué:
ê  En lugar de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático, parte de un conocimiento matemático y busca uno o varios problemas que le den sentido para proponerlos a sus alumnos (recontextualización).
ê  Una vez producido un conocimiento, el matemático lo despersonaliza. Trata de quitarle todo lo anecdótico, su historia y circunstancias particulares, para hacerlo más abstracto y dotarlo de una utilidad general. El profesor debe, por el contrario, hacer que el alumno se interese por el problema (repersonalización). Para ello, con frecuencia busca contextos y casos particulares que puedan motivar al alumno.



[1] Adaptado de: Didáctica de las Matemáticas para Maestros Juan D. Godino. Proyecto Edumat-Maestros

Dimensiones para la resolución de problemas en Matemática

Alan Schoenfeld afirma que para resolver problemas es necesario que el resolutor maneje cuatro dimensiones[1]. A saber:

1.      Los recursos. Entendiendo por ello al conjunto de conocimientos previos que posee el estudiante. Por ejemplo, se refiere, entre otros, a conceptos, fórmulas, algoritmos y, en general, a todas las nociones que se considere necesario saber para enfrentarse a un determinado problema.
2.      Las heurísticas. Vienen a ser las estrategias que maneja el resolutor para enfrentar el problema. Dicho de otra manera: “las operaciones mentales típicamente útiles en la resolución de problemas son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, (son) sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.”[2]
3.      El control. Se refiere a cómo un estudiante controla su trabajo. Si ante un determinado problema puede ver una serie de caminos posibles para su solución, el estudiante tiene que ser capaz de darse cuenta de si el que seleccionó, en determinado momento, está funcionando o si va hacia un callejón sin salida; es decir, tiene que darse cuenta a tiempo, retroceder e intentar de nuevo por otra vía.
Algunas acciones que involucran el control son las siguientes:


  • ê Entendimiento: tener claridad acerca de lo que trata un problema antes de empezar a resolverlo.
  • ê Consideración de varias formas posibles de solución y seleccionar una específica, o sea: hacer un diseño.
  • ê Monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar un camino no exitoso y tomar uno nuevo.
  • ê Llevar a cabo ese diseño que hizo, estar dispuesto a cambiarlo en un momento oportuno.
  • ê Revisar el proceso de resolución.

4.      El sistema de creencias sobre la matemática. Que inciden notablemente en la forma en que los estudiantes, e incluso los profesores, abordan la resolución de algún problema. Estas creencias intervienen, por ejemplo, cuando un estudiante toma un problema y a los cinco minutos lo abandona o no; es decir, lo que él piense que es un problema puede incidir incluso en el tiempo que dedique a la resolución de cierto ejercicio.
Las creencias también determinan la forma en que tratan de aprender matemática, memorizando o no. Es decir, los estudiantes pueden creer que la matemática es solamente una serie de reglas que simplemente van a memorizar. O pueden creer que la matemática es elaboración de conceptos, establecimiento de relaciones, patrones; en este caso, entonces, probablemente van a tratar de comprenderla pues creen que tal comprensión les va a ser útil.



[1] Barrantes, Hugo RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: El Trabajo de Allan Schoenfeld CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 2006, Año 1, Número 1. Disponible en:    http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno1/Cuadernos%201%20c%204.pdf
[2] García Cruz, Juan Antonio La Didáctica de las Matemáticas: una visión general. Disponible en internet en: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm

Algunas estrategias heurísticas

(este texto ha sido adaptado a partir de que trabajamos en el Ministerio, en la UMC, Etc.)

A continuación algunas estrategias heurísticas usuales presentadas mediante una situación problemática propicia para ponerla en uso:

1.            

II. ¿Cuántos cubos se necesitan para hacer una escalera como la mostrada, pero de diez peldaños?

Busca patrones

I. Completa las siguientes series: 

a.  4 ; 7 ; 10; .......................

b.  2 ; 4 ; 8 ; 16 ................


c.   1 ; 4 ; 9 ; 16 ....................

I   II. ¿Cuántos cubos se necesitan para hacer una escalera como la mostrada, pero de diez peldaños?



En un recipiente hay el mismo número de arañas que de insectos. Si en total hay 70 patas, ¿cuántos artrópodos hay?
# artrópodos de cada tipo
# patas de arañas
# de patas de insectos
Total de patas
1



2



3



4



5




3.             Haz un diagrama

a)      Tengo un palito de dientes, uno de helado y una cañita. El palito de helado es el doble de largo que el de dientes. La cañita es tan larga como el palito de dientes y el de helado juntos. Si coloco los tres palitos en fila uno junto al otro, los tres juntos miden 24 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los objetos?

b)      Charito tiene un polo azul, uno rojo y uno verde. Además, un pantalón azul y una falda celeste. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, decorosamente, Charito combinando dos prendas?

c)      Con siete monedas sobre una mesa, ¿cuántas hileras de tres monedas se pueden formar (sin superponer las monedas)?

4.             Haz una lista sistemática

Pablito tiene menos de 25 clavitos. Si los agrupa de a tres, le sobran dos. Si los agrupa de a cinco, le sobran cuatro. ¿Cuántos clavitos tiene Pablito?

5.             Razona lógicamente

a.      A partir de 1768, James Cook, al mando del navío Endeavour de la Armada Real de Inglaterra, hizo tres viajes hacia el Pacífico sur y Australia. Durante uno de los viajes murió. ¿En cuál de ellos fue?

b.      María, Alfredo y José tienen cada uno un juguete: una bicicleta, un par de patines y una pelota, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que:
-         María compró chocolates con la persona dueña de la bicicleta.
-         José pidió prestada la bicicleta y fue a la tienda con la persona dueña de la pelota.
¿A quién le corresponde cada juguete?

















6.             Haz una simulación

Daniel compra una revista por S/. 7, luego la vende por S/. 8. Después se le ocurre recuperarla, pagando S/. 9. Finalmente se deshace de ella por S/. 10. ¿Ganó dinero,  perdió o quedó con la misma cantidad?

7.             Empieza por el final

a)      En una partida de póquer entre Alberto, Bernardo y Cecilia, cada jugador debe duplicar el dinero de sus contrincantes cuando pierde. Después de 3 juegos Alberto, Bernardo y Cecilia han perdido una vez cada uno (en ese orden), y terminaron empatados con S/. 24 cada uno. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno?





















b)      Claudia tenía cierta cantidad de naranjas en una canasta, primero vendió la mitad de las que tenía y le regaló una más a su primer cliente. Luego vendió la mitad de las que le quedaban y le regaló una más a su segundo cliente. Finalmente vendió la mitad de las que le quedaban y le regaló una más a su último cliente, quedándose con dos naranjas. Ayuda a Claudia a averiguar cuántas naranjas vendió.

8.             Plantea un enunciado numérico

Quiero comprar una bicicleta y averiguo en dos lugares: En la tienda  “W” cuesta S/. 40 pero me descuentan la quinta parte y me dan una calcomanía. En la tienda “Z” cuesta  S/. 42 pero me descuentan la sexta parte y me dan dos calcomanías. ¿En dónde me conviene comprar?
Nota: Las calcomanías (stikers) cuestan S/. 0,50 aproximadamente.

9.             Utiliza el ensayo y error

En qué fecha(s), de lo que falta del presente año, la diferencia entre el día y el mes es igual a las dos últimas cifras del año.

10.        Establece submetas

Si el precio de tres naranjas es igual al precio de dos manzanas y el precio de cinco manzanas es tanto como el precio de 90 limones, ¿a cuántos limones equivale el precio de una naranja?