jueves, 20 de noviembre de 2014

EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

A continuación se adjunta la presentación del tema realizada en el Taller de Huampaní: (hacer click)






Para los participantes del Taller se propone...

Esta es la actividad sugerida (tareíta):



Tarea 1. Tome una hoja de tamaño A4. Dibuje en cada esquina un cuadrado del mismo tamaño, recórtelos y doblando los costados de lo que queda de la hoja construya una caja sin tapa:



Busque las medidas que debe tener esta caja en cm, de manera que la caja tenga el mayor volumen posible.





Tarea 2. Reflexione sobre el siguiente punto (escriba su reflexión): ¿El aprendizaje debe ir de lo simple a lo complejo, o, más bien, de lo complejo a lo complejo, pero desde lo particular a lo general? 
(ESCALERA VERSUS CÍRCULOS CONCÉNTRICOS). (Tome como referencias la Taxonomía de Bloom y la Demanda cognitiva (Stein)


   
Nota: ¿Es posible resolver la primera tarea empleando los diferentes niveles de algebrización? ¿Qué secuencia didáctica sería conveniente seguir para asegurar que los estudiantes comprendan?

EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA


EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Gustavo Cruz Ampuero  - 20 de Noviembre de 2014
En la actualidad, las concepciones y creencias del profesor han cobrado importancia en la interpretación de las decisiones pedagógicas que toma. Así, respecto de la importancia de este tema, Flores[1] afirma:
“Desde este paradigma basado en el pensamiento del profesor, se considera, pues, que la conducta cognitiva del profesor está guiada por el sistema personal de creencias y valores, que le confieren sentido a dicha conducta. Por su carácter inconsciente e impreciso, Clark y Peterson (1986), entre otros, dicen que hay que ayudar al docente a describir explícitamente el marco de referencia constituido por sus concepciones y creencias sobre la enseñanza y aprendizaje.
Thompson (1992) y Ernest (1989a) destacan la importancia que tienen además las creencias  sobre las matemáticas para los profesores de matemáticas, y junto con Cooney y Shealy (1994) y Ponte (1992), indican que la formación de profesores debe tomar en consideración la explicitación y cambio de concepciones de los estudiantes para profesor de matemáticas”.
En particular, las concepciones acerca de la matemática que tiene el profesor tienen un papel fundamental en las decisiones pedagógicas que toma: para programar su curso, elegir y priorizar temas, tareas; para determinar la ruta de su sesión de aprendizaje;  y, para determinar qué y cómo evaluará el área.
Las concepciones son un tipo de conocimiento no siempre evidente para cada individuo (implícito) que recoge lo que el sujeto “cree” o “considera” que es algo. Moreano[2], citando a Remesal afirma: “la concepción de un individuo acerca de una porción de la realidad, tanto física como social, es el sistema organizado de creencias acerca de esa misma porción de la realidad, entendidas estas como las aseveraciones y relaciones que el individuo toma como ciertas en cada momento determinado de su vida, que se originan y desarrollan a través de las experiencias e interacciones” Remesal (2006, p. 67).
Skemp (1978) citado por Vilanova, nos presenta dos concepciones acerca de la matemática:
“…una distinción entre matemática instrumental y matemática relacional, en base al tipo de concepción que cada una refleja. El conocimiento instrumental de la matemática, es conocimiento de un conjunto de "planes preestablecidos" para desarrollar tareas matemáticas. La característica de estos "planes" es que prescriben procedimientos paso a paso a ser seguidos en el desarrollo de una tarea dada, en los cuales cada paso determina el siguiente. El conocimiento relacional de la matemática, en contraste, está caracterizado por la posesión de estructuras conceptuales que permiten a quien las posee construir diferentes planes para desarrollar una tarea asignada. En el aprendizaje relacional los medios se independizan de los fines a partir del aprendizaje de principios inclusores adecuados para usarse en una multitud de situaciones o tareas”[3].

Por su parte Godino[4], muestra los siguientes tipos de concepciones acerca de la matemática por parte de los profesores:


Concepción idealista-platónica:
“… considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil que el alumno por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática pura y la aplicada serían dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad. Las aplicaciones de las matemáticas serían un "apéndice" en el estudio de las matemáticas, de modo que no se producirían ningún perjuicio si este apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante.” (Pág. 20)

Concepción constructivista:
“… consideran que debe haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Piensan que es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una cierta necesidad”. (Pág. 20 -21)

Actualmente, las investigaciones acerca de las concepciones acerca de la matemática han tomado mucha importancia y permiten entender las razones por la que los profesores toman decisiones pedagógicas. Así, un profesor “instrumentalista”, se preocupará por enseñar prescriptivamente a sus alumnos los procedimientos de una manera amplia, rigurosa y detallada. Teniendo mucha atención en cuál procedimiento es mejor para cada caso y en la aplicación, por parte de los alumnos, tal y como se les enseñó. Esto por sobre la enseñanza de las nociones matemáticas a la base, las situaciones reales en las que se presenta y los límites de estas nociones.
Por ejemplo: un profesor que trabaja en álgebra los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas con sus estudiantes -desde una concepción Instrumental- partirá presentándoles a sus alumnos los sistemas más elementales y se preocupará de enseñarles los distintos procedimientos de resolución para los sistemas de ecuaciones y de que sus estudiantes ganen pericia en usarlos de manera rápida, en sistemas de ecuaciones cada vez más operativamente complejos. Preocupándose que siempre sean sistemas compatibles y determinados… pues lo que le importa es que sus estudiantes “dominen los métodos de resolución de sistemas” y que estos tengan “respuestas válidas” (de preferencia, siempre una sola respuesta). Por su parte, un profesor con una concepción “platónica” priorizaría los analítico y subvaloraría los métodos gráficos, por particulares y poco rigurosos.
Por otro lado, un profesor “relacional”, priorizará el sentido del asunto: en qué situaciones se da, qué significa, cómo se representa. Incluso los límites de la noción: cuándo es válida, hasta dónde, cuándo no.
Por ejemplo, para el caso de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas –desde una concepción relacional- se trabajaría de una manera más inductiva las propiedades y las ecuaciones y la manera de emplearlas para deducir una forma de resolver los sistemas. Desde una concepción constructivista, un docente, presentaría situaciones realistas en las que se puede emplear sistemas de ecuaciones para representarlas; haciendo énfasis en el sentido, en lo que representan. En las diversas representaciones: verbal, analítica, gráfica…. Propondría sistemas de distinto tipo: compatibles y determinados, peor también, compatibles indeterminados e incompatibles. Vería, a partir de la situación lo que significa cada uno de estos tipos y el significado de la soluciones (una, infinitas, ninguna).
Sobre la concepción constructivista de la matemática, Godino[5] señala:
“En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y seguir a la creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben ver, por sí mismos, que la axiomatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visión de las matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas de la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los alumnos la estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones”.

Pero, ¿qué significa saber matemática?, tomando a Bohórquez, encontramos que desde una posición instrumentalista, Thompson señala que, “saber matemática es equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los conceptos básicos de la disciplina”. Mientras que si el docente entiende a la matemática como una construcción social y cultural, entonces, “saber matemática” es “hacer matemática”.
Como se puede apreciar, las concepciones acerca de la matemática influyen grandemente en la tarea del profesor, por lo que es importante tomarla en cuenta en la formación inicial y en servicio. Asimismo, estudios más recientes han encontrado que es posible modificar estas concepciones tanto durante la formación inicial, como la formación en servicio. Sin embargo, la concepción acerca de la matemática que posee el profesor está acompañada de concepciones acerca del aprendizaje, lo que influye también en su labor docente, como por ejemplo en la formulación de las metas de aprendizaje, la secuencia didáctica y la metodología que emplea. Llegando hasta las actividades que desarrolla en las clases, las ayudas didácticas (recursos y materiales) que emplea y los tiempos que le da a cada actividad.
Respecto del aprendizaje, hay diferentes concepciones respecto a éste; desde el asociacionismo (conductismo), pasando por el procesamiento de la información, hasta el constructivismo. Cada una de estas posturas da como resultado decisiones pedagógicas que toma el profesor al momento de planificar, implementar o evaluar. Al respecto, Flores señala sobre el “… constructivismo psicológico … considera que las competencias y concepciones son construidas por los estudiantes. Aprender matemáticas es construirlas, hacer. Esta construcción es planteada como respuesta a un conflicto cognitivo por los psicólogos constructivistas sociales…” (Pág. 57).
Entonces, a manera de resumen, encontramos que el docente se encuentra en una compleja situación, pues debe lograr que sus alumnos aprendan matemática. Pero, entendiendo el aprendizaje desde una concepción particular, por un lado. Y, por el otro, entendiendo la matemática desde la propia concepción que él tiene de la misma.



El enfoque centrado en la resolución de Problemas
El mundo en que vivimos presenta como característica esencial el cambio. Incluso algunos estudiosos afirman que, a pesar de las diferencias específicas de cada sociedad, en la actualidad el cambio es lo único que permanece como una constante. Asimismo, también podemos identificar otras características relevantes de nuestro tiempo, como son el avance de la ciencia y la creciente presencia de la tecnología en casi todos los ámbitos de la vida cotidiana.
Por esa razón, la escuela –entendida como la institución encargada y especializada en la formación de personas-- debe prepararnos para enfrentar los innumerables retos que plantea un mundo en constante cambio. Al respecto, los expertos coinciden en que las nuevas generaciones deben ser capaces tanto de solucionar situaciones problemáticas novedosas (problemas) como de seguir aprendiendo de manera permanente y autónoma. Esto, desde una óptica más amplia, está inscrito en la meta de la escuela de “educar integralmente” a las personas (lo que también puede ser visto desde la perspectiva de “formar ciudadanos”)[6].
En ese sentido, consideramos que la educación matemática es un derecho, en la medida en que aporta a la formación de los ciudadanos y los prepara para desenvolverse adecuadamente en la sociedad. Por ello, la educación matemática constituye parte fundamental de la formación general básica que debe recibir todo estudiante de la Educación Básica Regular (EBR). En este caso específico, el aporte a la formación se focaliza en procurar que cada estudiante sea capaz de usar la matemática de manera consciente y deliberada para cumplir las metas que se ha planteado.
Por otro lado, el conocimiento matemático se relaciona directamente con un conjunto de capacidades a ser desarrolladas, como son la búsqueda y establecimiento de nuevas relaciones; la proposición y verificación de conjeturas; la elaboración y revisión de argumentos fundamentados y la formulación y resolución de situaciones problemáticas.
Asimismo, creemos que también es necesario promover en los estudiantes determinadas actitudes. Entre ellas se pueden destacar la curiosidad, la búsqueda de la verdad, la persistencia, la creatividad, la minuciosidad, la valoración del trabajo en equipo y la motivación por el logro, entre otras[7].
En la actualidad, la matemática es entendida como una ciencia en permanente cambio y expansión y no una disciplina rígida y acabada. Asimismo, desde una perspectiva histórica, podemos comprobar que la ciencia matemática se ha desarrollado de manera paulatina, respondiendo, en cada tiempo y sociedad, a los problemas concretos que se presentan.
Es decir, la matemática avanza gracias a los intentos por dar respuesta –de manera colectiva o individualmente- a problemas reales que se le presentan a cada colectivo o cultura[8]. En ese sentido, afirmamos que el conocimiento matemático es un producto social, y no solo un conjunto de conocimientos e ideas preexistentes, desconectados del medio. A continuación, revisaremos algunos temas que consideramos fundamentales, relacionados con la matemática y la educación matemática.
Hace algún tiempo, Paul Halmos se preguntaba en qué consiste la matemática. “¿Consiste en aprender axiomas, teoremas, definiciones, fórmulas, métodos?”. La matemática –afirmaba Halmos— no podría existir sin esos ingredientes, que le son esenciales; sin embargo, el matemático húngaro razonaba que es posible argüir que ninguno de esos ingredientes está en el corazón del tema y que la principal razón para la existencia de los matemáticos es resolver problemas. Con este raciocinio, concluyó que la matemática realmente consiste en problemas y soluciones: “Pienso que los problemas son el corazón de las matemáticas”.
El tiempo se ha encargado de confirmar la importancia y validez de esta propuesta, pues en la actualidad existe cada vez más consenso en torno a llamar competente en matemática a la persona que es capaz de resolver problemas.
En efecto, hoy la resolución de problemas es considerada como el proceso más importante de la educación matemática. Como se sabe, este enfoque surgió en los años ochenta del siglo pasado, a partir de la propuesta del National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)[9].
Qué entendemos por Problema:
Si bien la resolución de problemas ha sido considerada siempre una parte importante de la educación matemática, es preciso definir lo que se entiende actualmente por problema. Así, en la actualidad, se dice que un sujeto (individual o colectivo) se encuentra frente a un problema cuando se le presenta una situación inicial insatisfactoria o incompleta; cuando se tiene, también, una situación satisfactoria o completa a la que se quiere llegar, y no se conoce un procedimiento o camino para ir de la primera a la segunda situación. Es decir, un problema es una situación ante la cual el sujeto no tiene un camino conocido o automático para resolverlo.

Qué entendemos por problema




Consecuentemente, la visión de la resolución de problemas[10] ha variado desde:
1)        la tradicional enseñanza “para” resolver problemas (que consiste en la enseñanza de una gran variedad de problemas, dirigida a que los estudiantes resuelvan gran cantidad y variedad de problemas a fin de que pudieran resolver los problemas planteados en los libros y los exámenes);
2)        pasando luego por los importantes aportes de la enseñanza “sobre” la resolución de problemas (en la que se incorpora el aprendizaje de las estrategias heurísticas);
3)        hasta llegar a la enseñanza “a través” de la resolución de problemas.
Visiones sobre la resolución de problemas
Enseñanza “para” resolver problemas
Enseñanza “sobre” la resolución de problemas
Enseñanza “a través” de la resolución de problemas
La meta es enseñar una gran cantidad de problemas con el objetivo de que el estudiante pueda aprender la forma en que se resuelve cada uno de los problemas que aparecen en los libros y exámenes.
La meta es enseñar acerca de los problemas, los pasos para resolverlos, las estrategias heurísticas, formas de representar las situaciones planteadas, etc.
La meta es emplear a los problemas como la situación ideal para construir nuevas nociones matemáticas. Al enfrentarse a problemas convenientemente seleccionados por el docente, el estudiante se verá necesitado de descubrir y emplear ciertas nociones matemáticas.
Como vemos en la tabla precedente, la función que cumple la resolución de problemas ha variado considerablemente a partir de los avances que se han dado en la educación matemática.
En el caso de la primera visión –enseñanza “para” resolver problemas-- nos encontramos ante una visión que más que enseñar (en el sentido amplio y actual del término), busca “entrenar” a los estudiantes para que “se aprendan” las “formas de resolución” de los “problemas tipo”. Obteniéndose como producto, en el mejor de los casos, que el estudiante “solo puede hacer lo que se le ha enseñado” (aplicar recetas) y no enfrentarse a verdaderos problemas[11].
En el caso de la segunda visión --enseñar “sobre” los problemas—subrayamos su principal aporte: la importancia concedida a que el estudiante vaya desarrollando estrategias de resolución, amplíe su concepción de matemática y desarrolle sus capacidades matemáticas.
En el caso de la tercera visión –enseñar “a través” de los problemas, también conocida como el ABP, Aprendizaje Basado en Problemas-- la resolución de problemas se convierte en el contexto ideal para la presentación, justificación, construcción y robustecimiento de las nociones matemáticas, dejando de lado ese limitado rol de “problema de aplicación” del contenido previamente enseñado.
No obstante, se debe precisar que según lo que se quiere lograr en particular –es decir, según cuál sea la meta de aprendizaje- alguna de estas visiones podría ser más adecuada que otra.
Cómo se resuelve un problema
En relación a este punto, el matemático húngaro George Polya, autor del fundamental libro Cómo plantear y resolver problemas –y reconocido como el padre de la heurística moderna— introdujo las estrategias de resolución de problemas (estrategias heurísticas) y una propuesta general para resolver los problemas. Así, Polya propuso 4 pasos:

Los cuatro pasos de Polya para la de resolución de problemas


Este planteamiento es complementado con las propuestas de Alan Schoenfeld, quien adiciona a las heurísticas más elementos, llamados por él aspectos, para la resolución de problemas. Entonces, tenemos:
ü  Recursos (conocimientos matemáticos)
ü  Heurísticas (estrategias para la resolución de problemas)
ü  Control (mecanismo metacognitivo que direcciona el proceso de resolución de problemas)
ü  Sistema de creencias acerca de la matemática (es el “marco” que limita las posibilidades de lo que puede ser válido para una persona en la resolución de un problema de matemática. Lo que se puede hacer, o no)
El quehacer matemático
ü  Este es el nombre que recibe la actividad que despliegan los profesionales en la matemática –los matemáticos-- cuando se encuentran desarrollando su ciencia; es decir, cuando están dedicados a la labor de producir nuevo conocimiento matemático. En ese sentido, el quehacer matemático es uno de los aportes fundamentales que la matemática como ciencia puede hacer a la formación básica de cualquier ciudadano, siempre y cuando consideremos que el quehacer matemático promueve el desarrollo de actitudes y capacidades intelectuales fundamentales o relevantes.
ü  ¿Cómo debería ser, entonces, el proceso de aprender matemática? Mejor, dejemos esta explicación a Miguel de Guzmán:
“¿Cómo debería tener lugar el proceso de aprendizaje matemático a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de la parcela de la realidad de la que se ocupa.
Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos. …
Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.”[12]
Comparación entre la Matemática Instrumental y la Matemática Relacional
Como hemos vista al principio de este documento, las concepciones acerca de la matemática son realmente determinantes para las decisiones pedagógicas que toma el profesor. Sin embargo, es preciso precisar que si bien estas concepciones pueden ser modificadas, su cambio no es algo muy sencillo, entre otros por las ventajas que presenta. En ese sentido, presentamos un cuadro comparativo elaborado a partir de la propuesta del propio Skemp, citado por Godino[13]:
Ventajas de la matemática instrumental
Ventajas de la matemática relacional
1. Es usualmente más fácil de “aprender”; por ejemplo, es difícil entender relacionalmente la multiplicación de dos números negativos, o la división de fracciones, mientras que reglas como “Menos por menos, más” y “para dividir por una fracción, multiplicas en cruz” se recuerdan con facilidad.
1. Es más adaptable a nuevas tareas. Al saber no sólo qué método funciona sino también por qué, el niño puede adaptar los métodos a los nuevos problemas, mientras que si sólo tiene comprensión instrumental necesita aprender un método diferente para cada nueva clase de problemas.
2. Debido a que se requieren menos conocimientos, permite proporcionar la respuesta correcta de manera más rápida y fiable que la que se consigue mediante un pensamiento relacional.
2. Las matemáticas relacionales son más fáciles de recordar, aunque son más difíciles de aprender. Ciertamente es más fácil que los alumnos aprendan que “el área de un triángulo = (1/2) base x altura”, que aprender por qué eso es así. Ahora bien, tienen que aprender reglas separadas para los triángulos, rectángulos, paralelogramos, trapecios; mientras que la comprensión relacional consiste en parte en ver todas estas fórmulas con relación al área del rectángulo. Si se sabe cómo están interrelacionadas se pueden recordar mejor que como partes desconectadas. Hay más cosas que aprender –las conexiones y las reglas separadas- pero el resultado, una vez aprendido, es más duradero.
Como se puede apreciar en el cuadro anterior, la visión de la matemática relacional contrasta con la visión instrumental —que es la más extendida entre los docentes—según la cual el manejo de información, definiciones y procedimientos son el objetivo central de la formación matemática.
En contraposición, podría decirse que la concepción relacional es naturalmente compatible con el enfoque centrado en la resolución de problemas. Así, desde esta concepción queda claro que el mero conocimiento de la información sobre un tópico matemático no asegura la resolución de los problemas de dicho tópico, sino que es necesario el trabajo de un conjunto de aspectos que llevarán al estudiante a ser competentes matemáticamente. Esto quiere decir que hay que ser capaz de “poner en uso” dichos conocimientos en situaciones problemáticas. Asimismo, podemos afirmar que los aprendizajes de un sujeto no están circunscritos a lo que le “enseñaron en la clase”, pues estos aprendizajes pueden ser adaptados a diversas situaciones y contextos, según las necesidades de cada persona. Es decir, se logran aprendizajes funcionales y transferibles.
Sobre la didáctica de la matemática
La didáctica de la matemática es un concepto complejo que se ha estudiado y redefinido varias veces. Así, Isabel Vargas la define de la siguiente manera:
“Ciencia del desarrollo de planificaciones realizadas en la enseñanza de las matemáticas. Los objetos que intervienen son: estudiantes, contenidos matemáticos y agentes educativos. Sus fuentes de investigación son los alumnos, situaciones de enseñanza-aprendizaje, puesta en juego de una situación didáctica y los fenómenos didácticos.
Tiene como objetivo observar la producción de los alumnos y analizarla desde tres puntos de vista: estructura matemática, estructura curricular y estructura cognitiva y operacional.”[14]
Por su parte, Vergnaud, citado por D’Amore, dice lo siguiente, en relación a la didáctica:
”Se necesita descartar todo esquema reduccionista: la didáctica no es reducible ni al conocimiento de una disciplina ni a la psicología, ni a la pedagogía, ni a la historia, ni a la epistemología. Supone todo eso, pero no se le puede reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus métodos. Este es ahora un punto aceptado por los investigadores que se hallan empeñados en este camino”[15]
Asimismo, Fandiño Pinilla, también citado por D’Amore, presenta la siguiente reflexión:
“La investigación en didáctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por ejemplo a través de las siguientes preguntas: ¿Qué se debe hacer y saber para hacer más eficaz la enseñanza? ¿Cómo aprenden los estudiantes? ¿Cuáles son los instrumentos metodológicos para adaptar la enseñanza a las capacidades individuales? ¿Cómo valorar la eficacia de la elección metodológica? ¿Cómo y con cuáles instrumentos evaluar?”[16]
En la actualidad, los estudios de didáctica también coinciden al plantear la necesidad de entender a la matemática desde una concepción relacional; asimismo, reconocen la fundamental importancia de la resolución de problemas y plantean el quehacer matemático como un elemento clave para la formación de los estudiantes (Schoenfeld[17], Santos Trigo[18]).
En conjunto, se busca desarrollar en los estudiantes actitudes, habilidades y nociones matemáticas que les permitan resolver situaciones problemáticas en diversos contextos, más allá del ambiente escolar, mediante un trabajo que apunte a que el estudiante construya aprendizajes funcionales que se constituyan en herramientas para un adecuado desempeño en su medio (y no solo en los exámenes de matemática durante su formación escolar).
Sobre la demanda cognitiva
La demanda cognitiva puede ser descrita como la caracterización que se hace de las tareas que se proponen al estudiante, según la complejidad de los procesos cognitivos involucrados en la resolución de dicha tarea. También podría decirse que la demanda cognitiva clasifica las tareas asignadas al estudiante según el “tipo de pensamiento” que le exige la resolución de dicha tarea.
Para poder clasificar a los diferentes tipos de demanda cognitiva, se puede considerar también la posibilidad de transferir lo aprendido; es decir, la posibilidad de adaptación del nuevo aprendizaje a diversas situaciones o contextos.
Respecto de las categorías, algunos estudios identifican procesos de baja, media y alta demanda cognitiva (TIMSS). Otros, aunque las mencionan con otro nombre (Tipos de Competencia), identifican tareas de diferentes tipos: Reproducción, Conexiones y Reflexión (PISA). A continuación se presenta la clasificación presentada por Stein (2000), que presenta dos niveles[19]:
- Las tareas de baja demanda cognitiva están constituidas tanto por la memorización/evocación de datos, símbolos, terminología, como por la ejecución de los llamados procedimientos sin conexiones. Por lo común, son las tareas rutinarias que se aprenden por repetición. Por ejemplo, el aprendizaje —mediante la “ejercitación”— del algoritmo para calcular por escrito la suma de varios números presentados uno bajo el otro (sin contexto) u otros procedimientos, generalmente de cálculo[20]. En todo este conjunto de tareas, la característica común es que para su ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones matemáticas involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso. Solo es necesario “aprender el procedimiento” para ejecutarlas.
- Las tareas de alta demanda cognitiva son aquellas que implican, por parte del estudiante, la comprensión de las situaciones propuestas, relacionarlas con aprendizajes anteriores, representarlas de alguna otra manera, adaptar lo aprendido, evaluar la pertinencia de aplicar algún procedimiento, elaborar un nuevo producto (o forma de hacer algo), etc. Dentro de este tipo de tareas se incluyen: los procedimientos con conexiones (con contexto), la resolución de problemas no rutinarios, el establecimiento y verificación de conjeturas, la generalización, la construcción de definiciones o propiedades y el “hacer matemática” (usar la matemática en situaciones, según los propios fines del estudiante).
Se presenta, a continuación, un cuadro con algunos ejemplos de cada uno de estos dos tipos de tareas:
Tareas de baja demanda cognitiva
Tareas de alta demanda cognitiva
Memorización:
·    de datos: π = 3,14
·    de fórmulas: Área ð = base x altura
·    de definiciones: número impar es aquel que no es divisible entre dos.

Procedimientos sin conexiones:
·    Calcula: 245 + 78 + 2 983
·    Halla el promedio de los siguientes números: 11; 12; 31; 46;
Procedimiento con conexiones:
·    Telefónica ha lanzado un celular post pago a S/. 25,00 mensuales. Tú deseas saber el costo en nuevos soles. ¿Cómo realizarías esta tarea?

Resolución de problemas no rutinarios:
·    Tengo 3 monedas. ¿Cuánto dinero tengo?
·    Completa: 1; 1; 2; 3; 5; 8; …
·    Construye un cuadrilátero que tenga tres de sus lados iguales y el cuarto lado diferente.
La importancia de la demanda cognitiva en las tareas que se presentan en la clase de Matemática estriba en que ésta puede hacer la diferencia entre que los estudiantes accedan a una comprensión superficial o la comprensión profunda de las nociones matemáticas.
Es decir, las tareas de baja demanda cognitiva por lo general están enfocadas a que el estudiante “aprenda” el “cómo se hace” y no el para qué, por qué o en qué condiciones se puede hacer, etc. Esto daría como resultado que los estudiantes accedieran a una comprensión superficial de los conceptos matemáticos; es decir, que manejen procedimientos sin entender de qué se trata y que, finalmente, los confundan u olviden.
Por otro lado, las tareas de alta demanda cognitiva aportan a la comprensión profunda, pues están dirigidas a que los estudiantes construyan la noción matemática que subyace, soporta y justifica una actividad, por ejemplo, de cálculo. Las tareas de alta demanda cognitiva están dirigidas a que el estudiante aprenda el por qué, para qué y cuándo usar un aprendizaje.
La resolución de problemas como estrategia metodológica
Un elemento que consideramos imprescindible en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, es la resolución de problemas. Esta actividad, realizada adecuadamente en las sesiones de aprendizaje, propicia la construcción de aprendizajes significativos, pues al resolver problemas, los estudiantes encuentran “el lugar de cada noción matemática”, tanto en el medio que los rodea como entre las nociones matemáticas que maneja. Además, encuentra un más profundo significado de las nociones matemáticas involucradas, ya que es posible identificar la relación entre los aprendizajes, su sentido en la realidad y, por tanto, encontrar la finalidad de su aprendizaje.
Por tanto, la actividad que realiza un estudiante es comparable al quehacer de los propios matemáticos cuando llevan a cabo sus investigaciones, ya que:
ü  Investiga y trata de resolver problemas, predice su solución (formula conjeturas)
ü  Trata de probar que su solución es correcta
ü  Construye modelos matemáticos
ü  Usa el lenguaje y conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías
ü  Intercambia sus ideas con otros y reconoce cuáles de estas ideas son correctas —conforme a la cultura matemática—, y entre todas ellas elige las que le sean útiles.
Referencias
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CUETO, Santiago, Cecilia RAMÍREZ, Juan LEÓN y Oscar PAIN (2003) Oportunidades de aprendizaje y rendimiento en matemática en una muestra de estudiantes de sexto grado de primaria de Lima. Lima: Grupo de Análisis para el Desarrollo (GRADE), 2003. Documento de trabajo 43. 99 p. http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf

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[1] Flores, Pablo. Concepciones y Creencias de los Futuros Profesores sobre las Matemáticas, su Enseñanza y Aprendizaje. Evolución Durante Las Prácticas De Enseñanza
[2] Moreano, G. et. al. Concepciones sobre la enseñanza de Matemática en un grupo de docentes de primaria de escuelas estatales de Lima. (2008)
[3] Vilanova, S. et al. Concepciones y creencias sobre la matemática. Una experiencia con docentes de 3er. Ciclo de la Educación General Básica
[4] Godino, J., et. al  Fundamentos de la Enseñanza y el  Aprendizaje de las Matemáticas para Maestros
[5] Ídem, Pág. 21
[6] También puede entenderse como la respuesta a la aspiración a formar personas capaces de desenvolverse adecuadamente en la sociedad y aportar al desarrollo de la misma teniendo como telón de fondo el desarrollo sostenible y la democracia.
[7] El conocimiento matemático no es concebido como la repetición de relaciones establecidas previamente por otros matemáticos, de la aplicación descontextualizada de algoritmos o de la repetición de demostraciones elaboradas por otros.
[8] Los ejemplos históricos son numerosos. Solo como ilustración mencionamos que nuestros antepasados que vivieron en la época de esplendor de la Cultura Nazca (Siglos I-IV d.C.), tuvieron que “hacer matemática” para poder dar forma a las notables y conocidas Líneas de Nazca. Estas líneas, trazadas con sorprendente maestría, nos evidencian que los miembros de esta comunidad manejaron --entre otras-- nociones de medición, geometría y proporcionalidad, además de técnicas para plasmar dichas nociones en proporciones gigantescas. Así, se tiene que una de las líneas rectas que compone la figura del Pájaro Gigante, que tiene una longitud aproximada de 300 metros, ostenta una desviación de solo 10 centímetros, lo que es un logro tecnológico sorprendente.
[9] Organismo impulsor del llamado Enfoque centrado en la resolución de problemas.
[10] GARCÍA CRUZ, Juan Antonio. La Didáctica de las Matemáticas: una visión general. Disponible en Internet en http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm
[11] Que no se vaya a entender que se descarta totalmente el valor de esta visión. Es decir, puede ser necesaria para el momento de prepararse para una prueba de selección. Por ejemplo, para prepararse para un examen de selección universitaria específico. Pero esta “preparación” tiene sentido –y tendrá resultados- luego de haber pasado por otras fases previas y fundamentales.
[12] DE GUZMÁN, Miguel. Tendencias innovadoras en educación matemática OEI para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Consultado: 12 de marzo 2010. http://www.oei.es/edumat.htm
[13] GODINO J. et al. Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros, Pág. 59. Disponible en Internet en: http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/fundamentos.pdf
[15] DÀMORE, Bruno. Didáctica de la matemática. Bogotá, Cooperativa Editorial magisterio, Universidad de Bologna, 2006.Pág. 48.
[16] Ídem, Págs. 47 y 48
[17] SCHOENFELD, Alan. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press, 1985
[18] SANTOS TRIGO, Luz Manuel. Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Grupo editorial Iberoamericano, México, 1996.
[20] 30 Por tratarse de una propuesta para el nivel primario, solo se presentan ejemplos sobre contenidos asociados a la primaria. No se vaya a entender que el contenido, o la “complejidad” del mismo, determina la pertenencia de una actividad a esta categoría. Presentamos, a continuación algunos ejemplos para los niveles secundario y superior. Algunas tareas de baja demanda cognitiva: aprenderse los “casos” de factorización, el procedimiento para una división de polinomios, el procedimiento para levantar la indeterminación de un límite finito, mediante la factorización y la cancelación del factor presente en el numerador y denominador, etc.